A-Level数学解析:向量知多少?
导语:
理解线性代数的几何意义,有助于在你遇到具体问题的时候,知道用什么工具去解决它们,这些工具为什么有效,并且对产生的结果做出解释。
A-LevelA-Level数学向量
线性代数在很多领域都有应用
· 物理
· 电力工程
· 机械工程
· 统计
……
学过线性代数的学生可能都会做以下计算,但他们却不知道为什么要这样计算,它们分别代表的含义是什么?学生们对于线性代数中的几何意义的理解是非常模糊的
· matrix multiplication - 矩阵乘法
· the Determinant - 行列式
· cross products - 交叉乘积
· eigenvalues - 特征值
实际上,理解线性代数的几何意义,有助于在你遇到具体问题的时候,知道用什么工具去解决它们,这些工具为什么有效,并且对产生的结果做出解释。而理解线性代数的算术意义,只能够帮你在使用这些工具的时候,完成整个计算过程。所以学习线性代数的层次关系应该是,由底向上:几何意义 -> 算术意义 -> 应用
于是,面对线性代数问题,人们更应该把计算部分交给计算机来完成,自己则专注于概念和原理部分。
向量是线性代数基本构成要素的根源。不同的职业对向量有不同的视角:
物理系学生对向量的视角:vectors are arrows pointing in space.
What defines a given vector is its length, and the direction it's pointing in.
计算机专业同学的视角:vectors are ordered lists of numbers. 2-dimensional is the fact that the length of that list is 2.
数学专业的同学:generalize both of these views (线性代数中所有的课题都是围绕这两种操作进行的):
1. 两个向量相加
2. 用一个常数和另一个向量相乘
Vector - 在坐标系中的有箭头的线段,它的末尾总在原点上,在2维空间中,向量(i、j)的第 1 个数字 i是尖端落在 x轴的长度,第 2 个数字j是尖端落在 y轴的长度,如果落在原点的左边(x 轴)和下边(y 轴),则 i、j 的值为负数;在 3 维空间中,每个向量有 3 个数(i、j、k)来表示,分别是尖端落在 x、y、z 轴上的长度,x、y、z 同样是有符号的。
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